已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AAT是对称阵,并且AAT正定的充要条件是r(A)=m.

admin2015-08-17  29

问题 已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AAT是对称阵,并且AAT正定的充要条件是r(A)=m.

选项

答案由(AAT)T=(AT)TAT=AAT,所以AAT是对称阵. 必要性 若AAT正定,r(AAT)=m≤r(A),又r(Am×n)≤m,故r(A)=m. 充分性 若r(A)=m,则齐次方程组ATX=0只有零解,故对任意X≠0,均有ATX≠0,故XTAATX=(ATX)T(ATX)>0,即AAT正定.

解析
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