已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2015-08-17 50

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(A_m×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意X≠0，均有A^TX≠0，故X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

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考研数学一

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已知3阶矩阵A＝有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．
若四次方程a。x4＋a1x3＋a2x＋a3x＋a4＝0有四个不同的实根，试证明4a。x3＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根皆为实根．
计算其中Ω是由三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的有界闭区域．
求A=的特征值和特征向量．
对n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证:f在条件x12+x22+…+x=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
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Sincewearesocialbeings,thequalityofourlivesdependsinlargemeasureonourinterpersonal(人与人之间的)relationships.Onestr

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