已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2015-08-17 84

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(A_m×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意X≠0，均有A^TX≠0，故X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cmw4777K

考研数学一

相关试题推荐

设x的概率密度为f(x)=，F(x)是x的分布函数，求Y=F(x)的分布函数和概率密度。
设有4阶方阵A满足条件｜3E+A｜=0，AAT=2E，｜A｜＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．
设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
一个盒子内放有12个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，3个黑球．第一次随机地摸出2个球，观察后不放回，第二次随机地摸出3个球，记Xi表示第i次摸到的红球的数目(i=1，2)；Yj表示第j次摸到的白球数，求：(X1，X2)的分布；
设A，B都是可逆矩阵，证明可逆，并求它的逆矩阵。
设3阶矩阵A的特征值为一1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，一1，1)T，α2=(1，0，一1)T，α3=(1，2，一4)T，求A100．
设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?
设(X，Y)服从D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3-y)上的均匀分布．求(X，Y)的协差阵，判断X与Y是否相关；
设有大小相同、标号分别为1，2，3，4，5的五个球，同时有标号为1，2，…，10的十个空盒．将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：B=“每个盒子中最多只有一个球”；
计算下列第一型曲线积分：其中L是以原点为中心，R为半径的右上四分之一圆周，即：x2+y2一R2，x≥0，y≥0；

随机试题

在这种天气条件下行车如何使用灯光？
低氢钾型药皮有哪些特点?
阅读巴金《爱尔克的灯光》中的一段文字，然后回答问题。忽然在前面田野里一片绿的蚕豆和黄的菜花中间，我仿佛又看见了一线光，一个亮，这还是我常看见的灯光。这不会是爱尔克的灯里照出来的，我那个可怜的姐姐已经死去了。这一定是我心灵的灯，他永远给我指示我应该
A、酚苄明B、肾上腺素C、甲氧明D、异丙肾上腺素E、阿托品肢端动脉痉挛可选用
影响粮食中真菌发育的重要因素有
A．血管内皮损害，炎症坏死血栓形成B．全身小血管中毒性损害C．全身性广泛性小血管损害D．脑内血管微血管形成E．颅底化脓性炎症
案情：甲(男23岁)，乙(女19岁)，为达到结婚目的，乙篡改了户口本并制作了假身份证，于民政部门领取了结婚证。结婚前甲的父母为甲购买了一套住房，供甲乙婚后居住，婚后乙的父母为乙买了一套住房供甲乙居住。三年后甲与乙的感情不和，乙要离婚甲不同意，于是乙诉至法院
项目决策阶段策划的工作内容中，技术策划的内容不包含()。
咏叹调：
国泰民安是人民群众最基本、最普遍的愿望。实现中华民族伟大复兴的中国梦，保证人民安居乐业，国家安全是头等大事。()

最新回复(0)

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

考研数学一

设x的概率密度为f(x)=，F(x)是x的分布函数，求Y=F(x)的分布函数和概率密度。

设有4阶方阵A满足条件｜3E+A｜=0，AAT=2E，｜A｜＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设A，B都是可逆矩阵，证明可逆，并求它的逆矩阵。

设3阶矩阵A的特征值为一1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，一1，1)T，α2=(1，0，一1)T，α3=(1，2，一4)T，求A100．

设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

设(X，Y)服从D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3-y)上的均匀分布．求(X，Y)的协差阵，判断X与Y是否相关；

计算下列第一型曲线积分：其中L是以原点为中心，R为半径的右上四分之一圆周，即：x2+y2一R2，x≥0，y≥0；

在这种天气条件下行车如何使用灯光？

低氢钾型药皮有哪些特点?

A、酚苄明B、肾上腺素C、甲氧明D、异丙肾上腺素E、阿托品肢端动脉痉挛可选用

影响粮食中真菌发育的重要因素有

A．血管内皮损害，炎症坏死血栓形成B．全身小血管中毒性损害C．全身性广泛性小血管损害D．脑内血管微血管形成E．颅底化脓性炎症

项目决策阶段策划的工作内容中，技术策划的内容不包含()。

咏叹调：

国泰民安是人民群众最基本、最普遍的愿望。实现中华民族伟大复兴的中国梦，保证人民安居乐业，国家安全是头等大事。()