2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

admin2015-09-10  56
问题 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．
选项
答案令[*] 其中x∈[a，b]，显然F(x)在[a，b]上连续．又由f’(x)＞0知 f(a)＜f(x)＜f(b) x∈(a，b) 于是 [*] 由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0， 即[*] ξ的唯一性可由F(x)的单调性得到 F’(x)=f(x)+f’(x)(x一a)一f(x)一3[-f(x)+f(x)一f’(x)(b一x)]=f’(x)[x—a+3(b—x)]＞0 所以，F(x)在[a，b]上单调增加，故在(a，b)上只有一个ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2
解析
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考研数学一

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