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设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex一a. 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤一1.
设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex一a. 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤一1.
admin
2019-08-05
16
问题
设a>1,函数f(x)=(1+x
2
)e
x
一a.
若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤
一1.
选项
答案
令点P为(x
0
,y
0
),∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,∴f
’
(x
0
)=(x
0
+1)
2
e
x
0
=0,∴x
0
=一1,p(一1,[*]-a),∴直线OP的斜率k
op
=[*], ∵在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,∴f
’
(m)=(m+1)
2
e
m
=a-[*],需证明(m+1)
2
≤(m+1)
2
e
m
,需证明m+1≤e
m
,设g(m)=e
m
-m一1,∴g
’
(m)=e
m
一1,令g
’
(m)=0,m=0,∴g(m)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴g(m)≥g(0)=0,∴e
m
一m一1≥0,∴e
m
≥m一1,命题得证.
解析
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