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设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
admin
2018-08-03
50
问题
设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η
*
,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
选项
答案
由条件知齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n一r个向量,设这个基础解系为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
.则向量组 η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
(*) 满足题意.首先,由解的性质易知(*)式中的n一r+1个向量均为方程组Ax=b的解;其次,由上题知(*)式中的向量组线性无关;再次,设x为方程组Ax=b的任一解,则x—η
*
为方程组Ax=0的解,因此x—η
*
可由ξ
1
,…,ξ
n—r
,线性表示,即存在一组常数志k
1
,…,k
n—r
,使得 x—η
*
=k
1
ξ
1
+…+k
n—r
ξ
n—r
得 x=η
*
+k
1
ξ
1
+…+k
n—r
ξ
n—r
=(1一k
1
一…一k
n—r
)η
*
+k
1
(η
*
+ξ
1
)+…+k
n—r
(η
*
+ξ
n—r
). 即x可由向量组(*)线性表示.综上可知向量组(*)满足要求.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sgg4777K
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考研数学一
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