设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．

admin2022-11-23 31

问题设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．

选项

答案设I为有限区间，其左、右端点分别为a，b．由于f在I上一致连续，故对ε=1．存存δ＞0[*]，当｜x’-x”｜＜δ且x’，x”∈I时，有｜f(x’)-f(x”)｜＜1．令[*]，则a＜a₁＜b₁＜b．由于f在[a₁，b₁]上连续，故f在[a₁，b₁]上有界．从而存在M₁＞0，对[*]x∈[a₁，b₁]，有｜f(x)｜≤M₁．当x∈[a，a₁)∩I时，因0＜a₁-x＜[*]＜δ，故｜f(x)-f(a₁)｜＜1，从而｜f(x)｜≤｜f(a₁｜+1．同理当x∈[b₁，b]∩I时，有｜f(x)｜≤｜f(b₁)｜+1．令 M=max{M₁，｜f(a₁)｜+1，｜f(b₁)｜+1}，则对一切x∈I，必有｜f(x)｜≤M．故f在I上有界．例：若令f(x)=[*]，x∈[0，+∞)，则易知f(x)在[0，+∞)上一致连续，但[*]可见f(x)在[0，+∞)上无界．

解析

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考研数学一

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设I为有限区间，证明：若f在I上一致连续，则f在I上有界，举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．

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