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设I为有限区间,证明:若f在I上一致连续,则f在I上有界,举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立.
设I为有限区间,证明:若f在I上一致连续,则f在I上有界,举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立.
admin
2022-11-23
24
问题
设I为有限区间,证明:若f在I上一致连续,则f在I上有界,举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立.
选项
答案
设I为有限区间,其左、右端点分别为a,b.由于f在I上一致连续,故对ε=1.存存δ>0[*],当|x’-x”|<δ且x’,x”∈I时,有|f(x’)-f(x”)|<1.令[*],则a<a
1
<b
1
<b.由于f在[a
1
,b
1
]上连续,故f在[a
1
,b
1
]上有界.从而存在M
1
>0,对[*]x∈[a
1
,b
1
],有|f(x)|≤M
1
. 当x∈[a,a
1
)∩I时,因0<a
1
-x<[*]<δ,故|f(x)-f(a
1
)|<1,从而|f(x)|≤|f(a
1
|+1.同理当x∈[b
1
,b]∩I时,有|f(x)|≤|f(b
1
)|+1.令 M=max{M
1
,|f(a
1
)|+1,|f(b
1
)|+1}, 则对一切x∈I,必有|f(x)|≤M.故f在I上有界. 例:若令f(x)=[*],x∈[0,+∞),则易知f(x)在[0,+∞)上一致连续,但[*]可见f(x)在[0,+∞)上无界.
解析
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考研数学一
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