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求证f(x)=πx(1—x)cosπx—(1—2x)sinπx>0当x∈时成立.
求证f(x)=πx(1—x)cosπx—(1—2x)sinπx>0当x∈时成立.
admin
2017-11-22
40
问题
求证f(x)=πx(1—x)cosπx—(1—2x)sinπx>0当x∈
时成立.
选项
答案
注意f(x)在[*]上连续,且f(0)=[*]=0.先求 f’(x)=一π
2
x(1一x)sinπx+π(1—2x) cosπx一π(1—2x) cosπx+2sinπx =[2一π
2
x(1—x)]sinπx[*] 其中g(x)=2—π
2
x(1—x). 显然,f’(x)的正负号取决于g(x)的正负号,用单调性方法判断g(x)的符号.由于 g’(x)=一π
2
(1— 2x)<0[*] 故g(x)在[*]单调下降,又因g(0)=2, [*] 从而存在唯一的x
0
∈[*]使g(x
0
)=0.又由 [*] 从而f(x)>f(0)=0(0<x≤x
0
), [*] 故f(x)>0[*]
解析
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0
考研数学三
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