求证f（x）=πx（1—x）cosπx—（1—2x）sinπx＞0当x∈时成立．

admin2017-11-22 35

问题求证f（x）=πx（1—x）cosπx—（1—2x）sinπx＞0当x∈

时成立．

选项

答案注意f(x）在[*]上连续，且f(0）=[*]=0．先求 f’（x）=一π²x(1一x)sinπx+π(1—2x) cosπx一π(1—2x) cosπx+2sinπx =[2一π²x(1—x)]sinπx[*] 其中g(x)=2—π²x（1—x）．显然，f’（x）的正负号取决于g（x）的正负号，用单调性方法判断g（x）的符号．由于 g’（x）=一π²(1— 2x)＜0[*] 故g（x）在[*]单调下降，又因g(0)=2， [*] 从而存在唯一的x₀∈[*]使g（x₀）=0．又由 [*] 从而f(x)＞f(0)=0（0＜x≤x₀）， [*] 故f(x)＞0[*]

解析

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