2. 考研
  3. (98年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f

(98年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f

admin2021-01-15  10
问题 (98年)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．
(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的x0是唯一的．
选项
答案令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，则φ(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，存在x0∈(0，1)，使φ’(x0)=0，即 x0f(x0)一[*]=0 又 φ"(x)=xf’(x)+2f(x)＞0，上式中的x0是唯一的．
解析
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考研数学一

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