2. 考研
  3. 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…ηs分别是AX=0和BX=0基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…ηs线性相关．

设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…ηs分别是AX=0和BX=0基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…ηs线性相关．

admin2019-07-19  29
问题 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…ηs分别是AX=0和BX=0基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…ηs线性相关．
选项
答案必要性． 由γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关，知存在k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls不全为零，使得k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0． 令ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt，则ξ≠0(否则k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls全为0)，且ξ=-l1η1-l2η2-…-lsηs，即非零向量ξ既可由γ1，γ2，…，γt表示，也可由η1，η2，…，ηs表示，所以Ax=0和Bx=0有非零公共解． 充分性． 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt且ξ=-l1η1-l2η2-…-lsηs，于是，存在k1，k2，…，kt不全为零，存在l1，l2，…，ls不全为零，使得 k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0， 从而γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
解析
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考研数学一

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