2. 考研
  3. 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

admin2019-07-19  40
问题 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：
A的特征值和特征向量；
选项
答案方法一 利用(1)A2=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=λξ 两边左乘A，得 A2ξ=λAξ=λ2ξ 因A2=O，所以λ2ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0． 方法二 直接用特征值的定义． Aξ=αβTξ=λξ， ① 由①式若βTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0． 若βTξ≠0，①式两端左乘βT，得 βTαβTξ=(βTα)βTξ=0.(βTξ)=λβTξ，得λ=0， 故A的全部特征值为0． 方法三 利用特征方程｜λE-A｜=0． [*] 因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2n个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是 [*] 方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a1≠0，b1≠0，有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为：[*]，k1，…，kn-1为不全为零的常数．
解析
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考研数学一

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