设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

admin2019-07-19 51

问题设向量α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T，求：
A的特征值和特征向量；

选项

答案方法一利用(1)A²=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=λξ 两边左乘A，得 A²ξ=λAξ=λ²ξ 因A²=O，所以λ²ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．方法二直接用特征值的定义． Aξ=αβ^Tξ=λξ， ① 由①式若β^Tξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0．若β^Tξ≠0，①式两端左乘β^T，得 β^Tαβ^Tξ=(β^Tα)β^Tξ=0.(β^Tξ)=λβ^Tξ，得λ=0，故A的全部特征值为0．方法三利用特征方程｜λE-A｜=0． [*] 因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2ⁿ个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是 [*] 方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a₁≠0，b₁≠0，有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为：[*]，k₁，…，k_n-1为不全为零的常数．

解析

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考研数学一

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设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

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