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  3. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： (Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0； (Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： (Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0； (Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。

admin2020-03-05  49
问题 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：
(Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0；
(Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。
选项
答案(Ⅰ)(反证法)假设｜A*｜≠0，则有A*(A*)-1=E。又 因为AA*=｜A｜E，且｜A｜=0，故 A=AE=AA*(A*)-1=｜A｜E(A*)-1=0， 所以A*=0。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。 (Ⅱ)由于AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得 ｜A｜｜A*｜=｜A｜n。 当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n-1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。 综上，有｜A*｜=｜A｜n-1成立。
解析
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考研数学一

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