设f(x)=∫0πln(x2-2xcost+1)dt．证明： (I)f(x)=f(x2)； (Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0； (Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

admin2020-09-23 52

问题设f(x)=∫₀^πln(x²-2xcost+1)dt．证明：
(I)f(x)=

f(x²)；
(Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0；
(Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

选项

答案(Ⅰ)因为f(-x)=∫₀^πln(x²+2xcost+1)dt[*]∫_π⁰ln(x²-2xcosxu+1)(-du) =∫₀^πln(x²一2xcosu+1)du=f(x)，所以f(x)为偶函数．于是 2f(x)=f(x)+f(一x)=∫₀^πln(x²一2xcost+1)dt+∫₀^πln(x²+2xcost+1)dt =∫₀^π(1+x²)²一(2xcost)²]dt=∫₀^πln[1+x⁴+2x²(1—2cos²t)]dt [*] 故当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t0v4777K

考研数学一

相关试题推荐

求x=cost(0＜t＜π)将方程(1一x2)y"一xy’+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足的解．
根据题意，令t＝x－1，则[*]本题用到奇函数在对称区间上积分值为零的结论．
有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球．现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：(Ⅰ)(X，Y)的
设f(x)∈C[a，b]且f(x)为单调增函数，若f(a)＜0，∫abf(x)dx＞0，证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．
设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则
(2007年)当x→0+时，与等价的无穷小量是
设球体x2+y2+z2≤z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的z坐标=________。
求极限．
设正项级数是它的部分和．(Ⅰ)证明收敛并求和；(Ⅱ)证明级数绝对收敛．
计算其中Ω为半球体x2+y2+z2≤1，z≥0．

随机试题

下列关于Word2010文件的保存说法中，错误的是()。
恶热、汗出、口渴、疲乏、尿黄，舌红、苔黄，脉虚数，属于()
升药的功效是
塔吊安装方案应由（）单位编写。
下列有关态度与行为的关系描述不正确的是()。
不同法的形式具有不同的效力等级，下列各项中，效力低于地方性法规的是()。
某商品分别在购物网站和实体店进行销售，利润率都是100％。为了促销，网站推出该商品买二赠一活动，实体店在提高一定价钱后以六折销售，结果两者利润仍然相同。问实体店提高的价钱占该商品原来售价的比例是多少?
学与教相互作用的过程是由__________、____________和评价／反思过程三种活动过程交织在一起的。
某学校有一批树苗需要栽种在学院路两旁，每隔5米栽一棵。已知每个学生栽4棵树，则有202棵树没有人栽；每个学生栽5棵树，则有348人可以少栽一棵。问学院路共有多少米?
以下哪项列出的四名队员可以共同参加比赛?()如果H不参加比赛，则参加比赛的队员必然包括以下哪两名?()

最新回复(0)

设f(x)=∫0πln(x2-2xcost+1)dt．证明： (I)f(x)=f(x2)； (Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0； (Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

考研数学一

求x=cost(0＜t＜π)将方程(1一x2)y"一xy’+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足的解．

根据题意，令t＝x－1，则[*]本题用到奇函数在对称区间上积分值为零的结论．

设f(x)∈C[a，b]且f(x)为单调增函数，若f(a)＜0，∫abf(x)dx＞0，证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．

设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则

(2007年)当x→0+时，与等价的无穷小量是

设球体x2+y2+z2≤z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的z坐标=________。

求极限．

设正项级数是它的部分和．(Ⅰ)证明收敛并求和；(Ⅱ)证明级数绝对收敛．

计算其中Ω为半球体x2+y2+z2≤1，z≥0．

下列关于Word2010文件的保存说法中，错误的是()。

恶热、汗出、口渴、疲乏、尿黄，舌红、苔黄，脉虚数，属于()

升药的功效是

塔吊安装方案应由（）单位编写。

下列有关态度与行为的关系描述不正确的是()。

不同法的形式具有不同的效力等级，下列各项中，效力低于地方性法规的是()。

某商品分别在购物网站和实体店进行销售，利润率都是100％。为了促销，网站推出该商品买二赠一活动，实体店在提高一定价钱后以六折销售，结果两者利润仍然相同。问实体店提高的价钱占该商品原来售价的比例是多少?

学与教相互作用的过程是由__________、____________和评价／反思过程三种活动过程交织在一起的。

某学校有一批树苗需要栽种在学院路两旁，每隔5米栽一棵。已知每个学生栽4棵树，则有202棵树没有人栽；每个学生栽5棵树，则有348人可以少栽一棵。问学院路共有多少米?

以下哪项列出的四名队员可以共同参加比赛?()如果H不参加比赛，则参加比赛的队员必然包括以下哪两名?()

学与教相互作用的过程是由、__和评价／反思过程三种活动过程交织在一起的。