2. 考研
  3. 设f(x)=∫0πln(x2-2xcost+1)dt．证明： (I)f(x)=f(x2)； (Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0； (Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

设f(x)=∫0πln(x2-2xcost+1)dt．证明： (I)f(x)=f(x2)； (Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0； (Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．

admin2020-09-23  49
问题 设f(x)=∫0πln(x2-2xcost+1)dt．证明：
(I)f(x)=f(x2)；
(Ⅱ)当|x|＜1时，f(x)=0；
(Ⅲ)当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．
选项
答案(Ⅰ)因为f(-x)=∫0πln(x2+2xcost+1)dt[*]∫π0ln(x2-2xcosxu+1)(-du) =∫0πln(x2一2xcosu+1)du=f(x)， 所以f(x)为偶函数．于是 2f(x)=f(x)+f(一x)=∫0πln(x2一2xcost+1)dt+∫0πln(x2+2xcost+1)dt =∫0π(1+x2)2一(2xcost)2]dt=∫0πln[1+x4+2x2(1—2cos2t)]dt [*] 故当|x|＞1时，f(x)=2πln|x|．
解析
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考研数学一

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