设对x>0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0, 其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续一阶导数,且f(x)=1,求f(x)。

admin2017-01-16  38

问题 设对x>0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有
xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0,
其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续一阶导数,且f(x)=1,求f(x)。

选项

答案根据已知条件,结合高斯公式,有 0=[*]xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy =±[*](xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x)dV, 其中Ω是由∑围成的有界封闭区域,由∑的任意性可知 xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x>0), 即f’(x)+([*]e2x(x>0), 于是 [*] 由于 [*] 所以 [*](e2x+Cex)=0,即C+1=0,C=-1, 故f(x)=[*],x>0。

解析
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