2. 考研
  3. 设对x＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0， 其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且f(x)=1，求f(x)。

设对x＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0， 其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且f(x)=1，求f(x)。

admin2017-01-16  60
问题 设对x＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有
xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0，
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且f(x)=1，求f(x)。
选项
答案根据已知条件，结合高斯公式，有 0=[*]xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy =±[*](xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x)dV， 其中Ω是由∑围成的有界封闭区域，由∑的任意性可知 xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x＞0)， 即f’(x)+([*]e2x(x＞0)， 于是 [*] 由于 [*] 所以 [*](e2x+Cex)=0，即C+1=0，C=-1， 故f(x)=[*]，x＞0。
解析
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考研数学一

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