设对x＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且f(x)=1，求f(x)。

admin2017-01-16 96

问题设对x＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有

xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze^2xdxdy=0，
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且

f(x)=1，求f(x)。

选项

答案根据已知条件，结合高斯公式，有 0=[*]xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze^2xdxdy =±[*](xf’(x)+f(x)-xf(x)-e^2x)dV，其中Ω是由∑围成的有界封闭区域，由∑的任意性可知 xf’(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0(x＞0)，即f’(x)+([*]e^2x(x＞0)，于是 [*] 由于 [*] 所以 [*](e^2x+Ce^x)=0，即C+1=0，C=-1，故f(x)=[*]，x＞0。

解析

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