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[2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．
[2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．
admin
2019-04-15
68
问题
[2004年] 二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
－x
3
)
2
+(x
3
+x
2
)
2
的秩为_________．
选项
答案
2
解析
解一 用配方法化二次型为标准形
f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
－x
3
)
2
+(x
3
+x
1
)
2
=(2x
1
2
+2x
1
x
2
+2x
1
x
3
)+2x
2
2
－2x
2
x
3
+2x
3
2
=2(
1
+x
2
／2+x
3
／2)
2
+
(x
2
－x
3
)
2
．
作线性变换，得
其中
因|P|=1≠0，所作的线性变换是非退化的，故所得二次型的标准形为f(y
1
，y
2
，y
3
)=2y
1
2
+3y
2
2
／2．该标准形平方项的非零系数的个数为2，且它与原二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)等价．由等价的二次型有相同的秩知，原二次型的秩为2．
解二 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
－2x
2
x
3
+2x
1
x
3
，
其矩阵
故秩(A)=2，因而f(x
1
，x
2
，x
3
)的秩等于2．
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考研数学三
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