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  3. [2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．

[2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．

admin2019-04-15  56
问题 [2004年]  二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．
选项
答案2
解析 解一  用配方法化二次型为标准形
    f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2
           =(2x12+2x1x2+2x1x3)+2x22－2x2x3+2x32
           =2(1+x2／2+x3／2)2+(x2－x3)2．
作线性变换，得
                 
其中因|P|=1≠0，所作的线性变换是非退化的，故所得二次型的标准形为f(y1，y2，y3)=2y12+3y22／2．该标准形平方项的非零系数的个数为2，且它与原二次型f(x1，x2，x3)等价．由等价的二次型有相同的秩知，原二次型的秩为2．
    解二    f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2－2x2x3+2x1x3，
其矩阵故秩(A)=2，因而f(x1，x2，x3)的秩等于2．
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考研数学三

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