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线性方程组Ax=b的系数矩阵是4×5矩阵,且A的行向量组线性无关,则错误命题的是( ).
线性方程组Ax=b的系数矩阵是4×5矩阵,且A的行向量组线性无关,则错误命题的是( ).
admin
2020-06-05
36
问题
线性方程组Ax=b的系数矩阵是4×5矩阵,且A的行向量组线性无关,则错误命题的是( ).
选项
A、齐次方程组A
T
x=0只有零解
B、齐次方程组A
T
Ax=0必有非零解
C、对任意b,方程组Ax=b必有无穷多解
D、对任意b,方程组A
T
x=b必有唯一解
答案
D
解析
根据“三秩定理”及A的行向量组线性无关,得R(A)=4.
A
T
是5×4矩阵,而R(A
T
)=R(A)=4,所以齐次线性方程组A
T
x=0只有零解,故(A)正确.
A
T
A是5阶矩阵,由于R(A
T
A)≤R(A)=4﹤5,所以齐次方程组A
T
Ax=0必有非零解,
故(B)正确.
A是4×5阶矩阵,A的行向量组线性无关,那么添加分量后的向量组亦线性无关,所以
R(A)=
=4﹤5,故Ax=b必有无穷多解,(C)正确.
由于A
T
列向量只是4个线性无关的5维向量,它们不能表示任一个5维向量,故方程组A
T
x=b有可能无解,故(D)不正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t8v4777K
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考研数学一
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