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  3. 线性方程组Ax＝b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题的是( )．

线性方程组Ax＝b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题的是( )．

admin2020-06-05  36
问题 线性方程组Ax＝b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题的是(    )．
选项 A、齐次方程组ATx＝0只有零解
B、齐次方程组ATAx＝0必有非零解
C、对任意b，方程组Ax＝b必有无穷多解
D、对任意b，方程组ATx＝b必有唯一解
答案D
解析 根据“三秩定理”及A的行向量组线性无关，得R(A)＝4．
AT是5×4矩阵，而R(AT)＝R(A)＝4，所以齐次线性方程组ATx＝0只有零解，故(A)正确．
ATA是5阶矩阵，由于R(ATA)≤R(A)＝4﹤5，所以齐次方程组ATAx＝0必有非零解，
故(B)正确．
A是4×5阶矩阵，A的行向量组线性无关，那么添加分量后的向量组亦线性无关，所以
R(A)＝＝4﹤5，故Ax＝b必有无穷多解，(C)正确．
由于AT列向量只是4个线性无关的5维向量，它们不能表示任一个5维向量，故方程组ATx＝b有可能无解，故(D)不正确．
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考研数学一

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