设A是n阶实对称矩阵,若对任意的n维列向量α恒有αTAα=0,证明A=0.

admin2018-06-14  52

问题 设A是n阶实对称矩阵,若对任意的n维列向量α恒有αTAα=0,证明A=0.

选项

答案[*]n维向量α恒有αTAα=0,那么令α1=(1,0,0,…,0)T,有 α1T1=(1,0,0,…,0)[*]=a11=0. 类似地,令αi=(0,0,…,0,1,0,…,0)T(第i个分量为1),由αiTi=aii=0 (i=1,2,…,n)。 令α12=(1,1,0,…,0)T,则有 α12T12=(1,1,0,…,0)[*]=a11+a22+2a120. 故a12=0.类似可知aij=0(i,j=1,2,…,n).所以 A=0.

解析
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