2. 考研
  3. 已知矩阵A的伴随矩阵 且满足ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B．

已知矩阵A的伴随矩阵 且满足ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B．

admin2020-04-30  8
问题 已知矩阵A的伴随矩阵
   
且满足ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B．
选项
答案解法1：由ABA-1=BA-1+3E，得A*ABA-1A=A*BA-1A+3A*A，而｜A*｜=｜A｜3=8，从而，｜A｜=2，代入上式得2B=A*B+6E，即(2E-A*)B=6E，显然2E-A*可逆，所以 [*] 解法2：在等式ABA-1=BA-1+3E两端左乘矩阵A-1，右乘矩阵A，得 B=A-1B+3E． 从而 (E-A-1)B=3E． 由于｜A*｜=｜A｜n-1，故有｜A｜3=8，并得｜A｜=2，所以[*]，代入得 [*] 即 (2E-A*)B=6E． 而 ｜2E-A*｜=-6，即矩阵2E-A*可逆，故 [*]
解析 本题考查解矩阵方程和有关矩阵A与其伴随矩阵A*的关系式，通过矩阵A与A*、A-1的关系先化简，再求B．
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考研数学一

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