2. 考研
  3. 设有向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，一1，A+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向

设有向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，一1，A+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向

admin2019-04-08  62
问题 设有向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，一1，A+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案因｜β1，β2，β3｜=[*]=(一2)×(1—4)=6≠0， 故方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)均有唯一解，因而对任意a，向量组(I)可用向量组(Ⅱ)线性表出．但 ｜α1，α2，α3｜=[*]=a+1． 当a+1≠0，即a≠一1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(f一1，2，3)有唯一解．因而β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表出．于是当a≠一1时，向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价．但当a=一1时，有 [*] 则秩(α1，α2，α3)=2≠秩(α1，α2，α3)+1=秩(α1，α2，α3，β1)=3，故β1不能用α1，α2，α3线性表出．因而向量组(I)和向量组(Ⅱ)不等价．
解析
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考研数学一

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