设有向量组(I):α1=[1,0,2]T,α2=[1,1,3]T,α3=[1,一1,A+2]T和向量组(Ⅱ):β1=[1,2,a+3]T,β2=[2,1,a+6]T,β3=[2,1,a+4]T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向

admin2019-04-08  19

问题 设有向量组(I):α1=[1,0,2]T,α2=[1,1,3]T,α3=[1,一1,A+2]T和向量组(Ⅱ):β1=[1,2,a+3]T,β2=[2,1,a+6]T,β3=[2,1,a+4]T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案因|β1,β2,β3|=[*]=(一2)×(1—4)=6≠0, 故方程组x1β1+x2β2+x3β3i(i=1,2,3)均有唯一解,因而对任意a,向量组(I)可用向量组(Ⅱ)线性表出.但 |α1,α2,α3|=[*]=a+1. 当a+1≠0,即a≠一1时,方程组x1α1+x2α2+x3α3i(f一1,2,3)有唯一解.因而β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出.于是当a≠一1时,向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价.但当a=一1时,有 [*] 则秩(α1,α2,α3)=2≠秩(α1,α2,α3)+1=秩(α1,α2,α3,β1)=3,故β1不能用α1,α2,α3线性表出.因而向量组(I)和向量组(Ⅱ)不等价.

解析
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