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(2016年)已知函数f(x)可导,且f(0)=1,设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1,2,…).证明: 存在,且
(2016年)已知函数f(x)可导,且f(0)=1,设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1,2,…).证明: 存在,且
admin
2018-07-01
70
问题
(2016年)已知函数f(x)可导,且f(0)=1,
设数列{x
n
}满足x
n+1
=f(x
n
)(n=1,2,…).证明:
存在,且
选项
答案
设[*]的前n项和为S
n
,则S
n
=x
n+1
一x
1
. 由上题知,[*]存在,即[*]存在.所以[*]存在. 设[*]由x
n+1
=f(x
n
)及f(x)连续,得c=f(c), 即c是g(x)=x一f(x)的零点. 因为g(0)=一1,g(2)=2一f(2)=1一[f(2)一f(0)]=1—2f’(η)>0,其中η∈(0,2).g’(x)=1一f’(x)>0,所以g(x)存在唯一零点,且零点位于区间(0,2)内. 于是0<c<2,即[*]
解析
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考研数学一
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