设向量组 α1，α2，…，αs， ① β1，β2，…，βt， ② α1，α2,…，αs，β1，β2，…，βt ③ 的秩分别为r1，r2，r3．证明：max{r1，r2}≤r3≤r1+r2．

admin2020-09-25 47

问题设向量组
α₁，α₂，…，α_s， ①
β₁，β₂，…，β_t， ②
α₁，α₂,…，α_s，β₁，β₂，…，β_t ③
的秩分别为r₁，r₂，r₃．证明：max{r₁，r₂}≤r₃≤r₁+r₂．

选项

答案若r₁与r₂中有等于零的，则结论显然成立．因此下面设r₁≠0，r₂≠0并且不妨设 [*] 分别为向量组①，②，③的最大无关组．显然⑤可由④线性表示．又因⑤线性无关，故 [*]．又由于最大无关组[*]都可由⑤线性表示，故 [*] 从而可得max{r₁，r₂)≤r₃．故max{r₁，r₂}≤r₃≤r₁+r₂．

解析

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