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设矩阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3,向量b=α1+α2+α3+α4,求方程组Ax=b的通解。
设矩阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3,向量b=α1+α2+α3+α4,求方程组Ax=b的通解。
admin
2020-03-16
52
问题
设矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
一α
3
,向量b=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求方程组Ax=b的通解。
选项
答案
已知α
2
,α
3
,α
4
线性无关,则r(A)≥3.又由a
1
,a
2
,a
3
线性相关可知a
1
,a
2
,a
3
,a
4
线性相关, 故r(A)≤3。 综上所述,r(A)=3,从而原方程组的基础解系所含向量个数为4—3=1。又因为 所以x=(1,一2,1,0)
T
是方程组Ax=0的基础解系。 又由b=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
可知x=(1,1,1,1)
T
是方程组Ax=b的一个特解。 于是原方程组的通解为 x=c(1,1,1,1)
T
+c(1,一2,1,0)
T
,c∈R。
解析
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考研数学二
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