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  3. [2012年] 证明xln(一1＜x＜1)．

[2012年] 证明xln(一1＜x＜1)．

admin2019-04-05  55
问题 [2012年]  证明xln(一1＜x＜1)．
选项
答案 将待证的不等式的右边移至左边作辅助函数，用单调性证其成立．若一阶导数的符号不好确定，可继续求高阶导数，直到导数符号确定为止． 证 令f(x)=xln[*]+cosx一1一[*](一1＜x＜1)．因ln[*]=ln(1+x)一 ln(1一x)为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇函数)，故xln[*]为偶函数． 因而f(x)为偶函数，故只需讨论x≥0的情况即可．又 f′(x)=ln[*]—sinx—x =ln[*]sinx—x(0≤x＜1)， 其正、负符号不好确定．下面再求二阶导数： f″(x)=[*]—cosx—1 =[*]一cosx一1 =[*]一cosx一1 (0≤x＜1)． 因0≤x＜1，(1一x2)2＜l，故4／(1一x2)2＞4，所以f″(x)＞0(0≤x＜1)．于是当x∈[0，1)时，f″(x)＞0，从而f′(x)单调增加，则f′(x)＞f′(0)=0．所以当0≤x＜1时， f(x)单调增加，即f(x)≥f(0)=0．于是当一1＜x＜l时，有f(x)≥0，即xln[*]+cosx≥l+[*](一1＜x＜1)．
解析
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考研数学二

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