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某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总收益函数为R(x,y)=42x+27y一4x2一2xy—y2,总成本函数为C(x,y)=36+8x+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总收益函数为R(x,y)=42x+27y一4x2一2xy—y2,总成本函数为C(x,y)=36+8x+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1
admin
2017-05-10
40
问题
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总收益函数为R(x,y)=42x+27y一4x
2
一2xy—y
2
,总成本函数为C(x,y)=36+8x+12y(单位:万元).除此之外,生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元,1万元.
当限制排污费用支出总额为8万元的条件下,甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?
选项
答案
当限制排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数L(x,y)在约束条件2x+y=8即2x+y一8=0下的条件最大值.可用拉格朗日乘数法,为此引入拉格朗日函数F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(2x+y一8),为求F(x,y,λ)的驻点,令 [*] 由①,②两式消去参数λ可得2x一y一2=0,与③联立可得唯一驻点(2.5,3).因驻点唯一,且实际问题必有最大利润,故计算结果表明,当排污费用限于8万元的条件下,甲、乙两种产品的产量分别为z=2.5(吨)与y=3(吨)时总利润取得最大值,最大利润maxL=L(2.5,3)=37(万元).
解析
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考研数学三
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