某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y一4x2一2xy—y2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1

admin2017-05-10 56

问题某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y一4x²一2xy—y²，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．
当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?

选项

答案当限制排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件2x+y=8即2x+y一8=0下的条件最大值．可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y一8)，为求F(x，y，λ)的驻点，令 [*] 由①，②两式消去参数λ可得2x一y一2=0，与③联立可得唯一驻点(2．5，3)．因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为z=2．5(吨)与y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润maxL=L(2．5，3)=37(万元)．

解析

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考研数学三

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某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y一4x2一2xy—y2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1

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