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考研
设A为m×n矩阵,且r(A)=r()=r
设A为m×n矩阵,且r(A)=r()=r
admin
2022-04-10
52
问题
设A为m×n矩阵,且r(A)=r(
)=r
=(A
b).
(I)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解;
(Ⅱ)
有三个线性无关解,求a,b及方程组的通解.
选项
答案
(I)令ξ
1
,ξ
2
,…,[*]为Ax=0的基础解系,η
0
为Ax=b的特解,显然β
0
=η
0
, β
1
=ξ
1
+η
0
,[*]为Ax=b的一组解,令[*]=0,即 [*]+(k
0
+k
1
+…+[*])η
0
=0. 上式左乘A得(k
0
+k
1
+…+[*])=0,因为b≠0时,k
0
+k
1
+…+[*]=0,于是k
1
β
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
,因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
为Ax=0的基础解系,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,于是k
0
=0,故β
0
,β
1
,…,β
n-r
线性无关. 若γ
0
,γ
1
,…,γ
n-r+1
为AX=b的线性无关解,则ξ
1
=γ
1
一γ
0
,…[*]一γ
0
为AX=0的解,令k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+[*]=0,则 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
n-r+1
γ
n-r+1
-(k
1
+k
2
+…+k
n-r+1
)γ
0
=0 因为γ
0
,γ
1
,…,γ
n-r+1
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r+1
=0,即ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r+1
为AX=0的线性无关解,矛盾,故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解 (Ⅱ)令A=[*] 则[*]化为AX=β因为Ax=β有三个非零解,所以AX=0有两个非零解,故4-r(A)≥2,r(A)≤2,又因为r(A)≥2,所以r(A)=r([*])=2 [*] 则a=-3,b=-1 由[*]得原撇的通解为 [*]其中k
1
,k
2
为任意常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tQR4777K
0
考研数学三
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