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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)=r()=r

设A为m×n矩阵，且r(A)=r()=r

admin2022-04-10  26
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)=r()=r=(A b)．
(I)证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；
(Ⅱ)有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．
选项
答案(I)令ξ1，ξ2，…，[*]为Ax=0的基础解系，η0为Ax=b的特解，显然β0=η0， β1=ξ1+η0，[*]为Ax=b的一组解，令[*]=0，即 [*]+(k0+k1+…+[*])η0=0． 上式左乘A得(k0+k1+…+[*])=0，因为b≠0时，k0+k1+…+[*]=0，于是k1β1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r为Ax=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn－r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn－r线性无关． 若γ0，γ1，…，γn－r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1一γ0，…[*]一γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+[*]=0，则 k1 γ1 +k2γ2+…+kn－r+1γn－r＋1－(k1+k2+…+kn－r+1)γ0=0 因为γ0，γ1，…，γn－r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0,即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n－r+1个线性无关解 (Ⅱ)令A=[*] 则[*]化为AX=β因为Ax=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=r([*])=2 [*] 则a=－3，b=－1 由[*]得原撇的通解为 [*]其中k1，k2为任意常数)．
解析
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考研数学三

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