设f(x，y)=kx2+2kxy+y2在点(0，0)处取得极小值，求k的取值范围．

admin2016-06-25 83

问题设f(x，y)=kx²+2kxy+y²在点(0，0)处取得极小值，求k的取值范围．

选项

答案由f(x，y)=kx²+2kxy+y²，可得 f’_x (x，y)=2kx+2ky， f"_xx (x，y)=2k， f’ _y (x，y)=2kx+2y， f"_yy (x，y)=2， f"_xy=(x，y)=2k，于是， ①若△=B²一AC=4k²一4k＜0且A=2k＞0，故0＜k＜1； ②若△=B²一AC=4k²一4k=0，则k=0或k=1．当k=0时，f(x，y)=y²，由于f(x，0)≡0，于是点(0，0)非极小值点．当k=1时，f(x，y)=(x+y) ²，由于f(x，一x)≡0，于是点(0，0)也非极小值点．综上所述，志的取值范围为(0，1)．

解析

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