设当x∈[2,4]时,有不等式ax+b≥lnx,其中a,b为常数,试求使得积分 I=∫24(ax+b-lnx)dx 取得最小值的a和b。

admin2022-10-08  38

问题 设当x∈[2,4]时,有不等式ax+b≥lnx,其中a,b为常数,试求使得积分
I=∫24(ax+b-lnx)dx
取得最小值的a和b。

选项

答案如图所示,首先 I=∫24(ax+b-lnx)dx=6a+2b-∫24lnxdx =6a+2b-A(A=∫24lnxdx是常数) 其次,设直线y1=ax+b与曲线y2=lnx相切于点P(x,y)则有 [*] 将上式代入I的表达式,得 I=I(x)=[*]+2lnx-A-2,x∈[2,4] 于是[*] 令I’(x)=0得到唯一驻点x=3,又当2<x<3时,I’(x)<0;当3<x<4时,I’(x)>0,故x=3为I(x)的最小值点,此时a=[*],b=ln3-1

解析
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