设当x∈[2,4]时，有不等式ax+b≥lnx，其中a,b为常数，试求使得积分 I=∫24(ax+b－lnx)dx 取得最小值的a和b。

admin2022-10-08 47

问题设当x∈[2,4]时，有不等式ax+b≥lnx，其中a,b为常数，试求使得积分
I=∫₂⁴(ax+b－lnx)dx
取得最小值的a和b。

选项

答案如图所示，首先 I=∫₂⁴(ax+b－lnx)dx=6a+2b－∫₂⁴lnxdx =6a+2b－A（A=∫₂⁴lnxdx是常数) 其次，设直线y₁=ax+b与曲线y₂=lnx相切于点P(x,y)则有 [*] 将上式代入I的表达式，得 I=I(x)=[*]+2lnx－A－2,x∈[2,4] 于是[*] 令I’(x)=0得到唯一驻点x=3,又当2＜x＜3时，I’(x)＜0；当3＜x＜4时，I’(x)＞0,故x=3为I(x)的最小值点，此时a=[*],b=ln3－1

解析

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考研数学三

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