证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有≤xp+(1－x)p≤1

admin2022-09-05 80

问题证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有

≤x^p+(1－x)^p≤1

选项

答案构造辅助函数f(x)=x^p+(1－x)^p,则 f’(x)=px^p-1－p(1－x)^p-1，f"(x)=p(p-1)x^p-2+p(p－1)(1－x)^p-2，令f’(x)=0,得x^p-1=(1－x)^p-1，从中求得在[0,1]上只有一个驻点x=[*],又因为p>1且当x∈[0,1]时,f"(x)>0,即在[0,1]上,曲线y= f(x)是凹的,且f(x)在x= [*]处取得极小值,且为f(x)在[0,1]上的最小值. [*] 又f(0)=1,f(1)=1,从而y=f(x)的最大值为1 因此[*]≤x^p+(1－x)^p≤1.

解析

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考研数学三

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求
设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．
用变量代换x＝sint将方程(1－x2)－x－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．
设f(x)为连续函数，计算x[＋yf(x2＋y2)]dxdy，其中D是由y＝x3，y＝1，
计算dxdy，其中D为单位圆x2＋y2＝1所围成的位于第一象限的部分．
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设A=(α1，α2，α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1，α2，α3，β1，β2线性无关
设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：
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