证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有≤xp+(1－x)p≤1

admin2022-09-05 94

问题证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有

≤x^p+(1－x)^p≤1

选项

答案构造辅助函数f(x)=x^p+(1－x)^p,则 f’(x)=px^p-1－p(1－x)^p-1，f"(x)=p(p-1)x^p-2+p(p－1)(1－x)^p-2，令f’(x)=0,得x^p-1=(1－x)^p-1，从中求得在[0,1]上只有一个驻点x=[*],又因为p>1且当x∈[0,1]时,f"(x)>0,即在[0,1]上,曲线y= f(x)是凹的,且f(x)在x= [*]处取得极小值,且为f(x)在[0,1]上的最小值. [*] 又f(0)=1,f(1)=1,从而y=f(x)的最大值为1 因此[*]≤x^p+(1－x)^p≤1.

解析

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