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  3. 证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有≤xp+(1－x)p≤1

证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有≤xp+(1－x)p≤1

admin2022-09-05  50
问题 证明：若p＞1,则对于[0,1]内任意x,有≤xp+(1－x)p≤1
选项
答案构造辅助函数f(x)=xp+(1－x)p,则 f’(x)=pxp-1－p(1－x)p-1，f"(x)=p(p-1)xp-2+p(p－1)(1－x)p-2， 令f’(x)=0,得xp-1=(1－x)p-1，从中求得在[0,1]上只有一个驻点x=[*],又因为p>1且当x∈[0,1]时,f"(x)>0,即在[0,1]上,曲线y= f(x)是凹的,且f(x)在x= [*]处取得极小值,且为f(x)在[0,1]上的最小值. [*] 又f(0)=1,f(1)=1,从而y=f(x)的最大值为1 因此[*]≤xp+(1－x)p≤1.
解析
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考研数学三

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