设3阶矩阵A满足A*＝AT，且第1行的元素为3个相等的正数，则第1行第1列的元素为( )．

admin2020-06-05 60

问题设3阶矩阵A满足A^*＝A^T，且第1行的元素为3个相等的正数，则第1行第1列的元素为( )．

选项 A、

B、3
C、

D、

答案A

解析由A^*＝A^T，得a_ij＝A_ij(i，j＝1，2，3)，于是由行列式的展开定理可知
｜A｜=a₁₁A₁₁＋a₁₂A₁₂＋a₁₃A₁₃＝a₁₁a₁₁＋a₁₂a₁₂＋a₁₃a₁₃注意到a₁₁＝a₁₂＝a₁₃≠0，从而｜A｜＝3a₁₁²﹥0．
另一方面，由｜A^*｜＝｜A｜^n﹣1及｜A｜＝｜A^T｜得｜A｜²＝｜A｜，进而｜A｜＝1或｜A｜＝0．
综上所述，｜A｜＝1，故而a₁₁＝

．因此选(A)．

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