已知P＝是矩阵A＝的一个特征向量． (1)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； (2)问A能不能相似对角化?并说明理由．

admin2016-05-09 26

问题已知P＝

是矩阵A＝

的一个特征向量．
(1)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
(2)问A能不能相似对角化?并说明理由．

选项

答案(1)设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有 (A－λE)P＝0， [*] 解得a＝－3，b＝0，且P所对应的特征值λ＝－1． (2)A的特征多项式为｜A－λE｜＝[*]＝(λ＋1)³，得A的特征值为λ＝－1(三重)．故若A能相似对角化，则特征值λ＝－1有3个线性无关的特征向量，而 [*] 即r(A＋E)＝2，所以齐次线性方程组(A＋E)χ＝0的基础解系只有一个解向量，因此A不能相似对角化．

解析

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考研数学一

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设A=*，且α=为矩阵A的特征向量．(Ⅰ)求a，b的值及a对应的特征值λ．(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角阵．
设矩阵A是秩为2的4阶矩阵，又α1，α2，α3是线性方程组Ax=b的解，且α1+α2—α3=(2，0，—5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3—2α1=(2，4，1，一2)T，则方程组Ax=b的通解x=___
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