设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．

admin2021-11-09 55

问题设α，β均为三维单位列向量，并且α^Tβ=0，若A=αα^T+ββ^T，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．

选项

答案因为α，β为单位向量，且α^Tβ=0，故[*]的秩为2，从而有x≠0，使 [*] 即α^Tx=0，β^Tx=0，于是有 Ax=(αα^T+ββ^T)x=αα^Tx+ββ^Tx=0．又 Aα=(αα^T+ββ^T)α=αα^Tα+ββ^Tα=α， Aβ=(αα^T+ββ^T)β=αα^Tβ+ββ^Tβ=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵p=(α，β，x)，使 [*]

解析本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．

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考研数学二

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