2. 考研
  3. 设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．

设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．

admin2021-11-09  52
问题 设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．
选项
答案因为α，β为单位向量，且αTβ=0，故[*]的秩为2，从而有x≠0，使 [*] 即αTx=0，βTx=0，于是有 Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0． 又 Aα=(ααT+ββT)α=ααTα+ββTα=α， Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ=β， 因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵p=(α，β，x)，使 [*]
解析 本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．
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考研数学二

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