2. 考研
  3. 设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫0xt2f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得.

设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫0xt2f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得.

admin2022-09-05  65
问题 设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫0xt2f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得.
选项
答案由积分中值定理得:存在η∈[0,x],使F(x)=∫0xt2f(t)dt=η2f(η)工,从而 F(1)=η2f(η)= f(1). 设G(x)=x2f(x),则G(1)= f(1),而G(η)=η2 f(η)=f(1),从而G(1)=G(η). 对函数G(x)在[η,1][*][0,1]上使用罗尔定理得 至少存在一点ξ∈(0,1)，使得 [*]
解析
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考研数学三

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