2. 考研
  3. 设向量组(i)α1=(1，2，一1)T，α2=(1，3，一1)T，α31=(一1，0，a一2)T， (ii)β1=(一1，一2，3)T，β2=(一2，一4，5)T，β3=(1，b，一1)T． 设A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)． 问：(Ⅰ

设向量组(i)α1=(1，2，一1)T，α2=(1，3，一1)T，α31=(一1，0，a一2)T， (ii)β1=(一1，一2，3)T，β2=(一2，一4，5)T，β3=(1，b，一1)T． 设A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)． 问：(Ⅰ

admin2018-03-30  53
问题 设向量组(i)α1=(1，2，一1)T，α2=(1，3，一1)T，α31=(一1，0，a一2)T，
(ii)β1=(一1，一2，3)T，β2=(一2，一4，5)T，β3=(1，b，一1)T．
设A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．
问：(Ⅰ)a，b为何值时，矩阵A，B等价?a，b为何值时，A，B不等价?
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)，(ii)等价?a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价?
选项
答案(Ⅰ)A≌B→r(A)=r(B)． 将增广矩阵(A┆B)一起作初等行变换， [*] 当a≠3且b≠2时，r(A)=r(B)=3，A≌B； 当a=3且b=2时，r(A)=r(B)=2，A≌B； 当a=3，b≠2或a≠3，b=2时，r(A)≠r(B)，A，B不等价． (Ⅱ)(i)≌(ii)→α1，α2，α3和β1，β2，β3可以相互表出 →(α1，α2，α3)x=βi(i=1，2，3)，(β1，β2，β3)y=αi(i=1，2，3)均有解 →r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，βi)，i=1，2，3，r(β1，β2，β3)=r(β1，β2，β3，αi)，i=1，2，3 →r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3┆β1，β2，β3)． 当a≠3且b≠2时，r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3┆β1，β2，β3)=3，(i)，(ii)等价； 当a=3时，(α1，α2，α3)x=β1(或β2)无解，(i)，(ii)不等价； 当b=2时，(β1，β2，β3)y=α2(或α3)无解，(i)，(ii)不等价．
解析
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考研数学三

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