设向量组(i)α1=(1,2,一1)T,α2=(1,3,一1)T,α31=(一1,0,a一2)T, (ii)β1=(一1,一2,3)T,β2=(一2,一4,5)T,β3=(1,b,一1)T. 设A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3). 问:(Ⅰ

admin2018-03-30  45

问题 设向量组(i)α1=(1,2,一1)T,α2=(1,3,一1)T,α31=(一1,0,a一2)T
(ii)β1=(一1,一2,3)T,β2=(一2,一4,5)T,β3=(1,b,一1)T
设A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3).
问:(Ⅰ)a,b为何值时,矩阵A,B等价?a,b为何值时,A,B不等价?
(Ⅱ)a,b为何值时,向量组(i),(ii)等价?a,b为何值时,向量组(i),(ii)不等价?

选项

答案(Ⅰ)A≌B→r(A)=r(B). 将增广矩阵(A┆B)一起作初等行变换, [*] 当a≠3且b≠2时,r(A)=r(B)=3,A≌B; 当a=3且b=2时,r(A)=r(B)=2,A≌B; 当a=3,b≠2或a≠3,b=2时,r(A)≠r(B),A,B不等价. (Ⅱ)(i)≌(ii)→α1,α2,α3和β1,β2,β3可以相互表出 →(α1,α2,α3)x=βi(i=1,2,3),(β1,β2,β3)y=αi(i=1,2,3)均有解 →r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,βi),i=1,2,3,r(β1,β2,β3)=r(β1,β2,β3,αi),i=1,2,3 →r(α1,α2,α3)=r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3┆β1,β2,β3). 当a≠3且b≠2时,r(α1,α2,α3)=r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3┆β1,β2,β3)=3,(i),(ii)等价; 当a=3时,(α1,α2,α3)x=β1(或β2)无解,(i),(ii)不等价; 当b=2时,(β1,β2,β3)y=α2(或α3)无解,(i),(ii)不等价.

解析
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