设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

admin2017-08-07 54

问题设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρ_XY=

记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

选项

答案E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫_-∞^+∞xf(x)dx+∫_-∞^+∞yf(一y)dy. 令y=一x，则∫_-∞^+∞yf(一y)dy=∫_-∞^+∞(一x)f(x)d(一x)=一∫_-∞^+∞xf(x)dx，所以 E(Z)=0．又 D(Y)=E(Y²)一[E(Y)]²=E(Y²)一[一E(X)]²，而 E(Y²)=∫_-∞^+∞y²f(一y)dy=∫_-∞^+∞(一x)²f(x)d(-x)=∫_-∞^+∞x²f(x)dx=E(X²)，而 E(Y²)=∫_-∞^+∞y²f(一y)dy=∫_+∞^-∞(一x)²f(x)d(一x)=∫_-∞^+∞x²f(x)dx=E(X²) 所以 D(Y)=E(Y²)一[一E(X)]²=E(X²)一[E(X)]²=D(X)=1．于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) [*]

解析

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考研数学一

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