设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 (I)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程； (Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．

admin2017-07-28 57

问题设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足

(I)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；
(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．

选项

答案(I)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得 [*] 这里[*]仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而 [*] 将②，③，④代入原方程①得 [*] (Ⅱ)由题(I)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=z(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)．由⑤式[*]其中f(u)为任意的有连续导数的函数．再对u积分得 z=φ(u)+ψ(v)，其中ψ，φ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．

解析

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考研数学一

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