设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明： (b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．

admin2020-03-05 20

问题设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
(b－a)f(

)≤∫_a^bf(x)dx≤

[f(a)+f(b)]．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 其中ξ介于x与[*]之间，因为f"(x)≥0，所以有 [*] 两边积分得 [*] 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]－∫_a^xf(t)dt，且φ(a)=0， [*] =1／2(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)， [*] 故(b－a)f([*])≤∫_a^bf(x)dx≤[*][f(a)+f(b)]．

解析

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考研数学一

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