2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明： (b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明： (b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．

admin2020-03-05  12
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
(b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．
选项
答案由泰勒公式得 [*] 其中ξ介于x与[*]之间， 因为f"(x)≥0，所以有 [*] 两边积分得 [*] 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]－∫axf(t)dt，且φ(a)=0， [*] =1／2(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x， 因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)， [*] 故(b－a)f([*])≤∫abf(x)dx≤[*][f(a)+f(b)]．
解析
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考研数学一

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