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设A是一个可逆实对称矩阵,记Aij是它的代数余子式.二次型 (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型. (2)f(x1,x2,…,xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
设A是一个可逆实对称矩阵,记Aij是它的代数余子式.二次型 (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型. (2)f(x1,x2,…,xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
admin
2017-06-08
57
问题
设A是一个可逆实对称矩阵,记A
ij
是它的代数余子式.二次型
(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型.
(2)f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的规范形和X
T
AX的规范形是否相同?为什么?
选项
答案
(1)由于A是实对称矩阵,它的代数余子式A
ij
=A
ji
,[*]i,j,并且A
-1
也是实对称矩阵,其(i,j)位的元素就是4
ij
|A|,于是f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
A
-1
X. (2)A
-1
的特征值和A的特征值互为倒数关系,因此A
-1
和A的正的特征值的个数相等,负的特征值的个数也相等,于是它们的正,负惯性指数都相等,从而A
-1
和A合同,f(x
1
,x
2
,…,x
n
)和X
T
AX有相同的规范形.
解析
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考研数学二
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