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设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( )
设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( )
admin
2018-04-14
67
问题
设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“M
N”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( )
选项
A、F(x)是偶函数
f(x)是奇函数。
B、F(x)是奇函数
f(x)是偶函数。
C、F(x)是周期函数
f(x)是周期函数。
D、F(x)是单调函数
f(x)是单调函数。
答案
A
解析
方法一:f(x)的原函数可以表示为F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C。如果F(x)为偶函数,则F(-x)=F(x),等式两边同时求导可得-f(-x)=f(x),可知f(x)为奇函数。
如果f(x)为奇函数,F(-x)=∫
0
-x
f(t)dt+C,对其作变量代换,令u=-t可得
F(-x)=∫
0
x
f(-u)(-du)+C=∫
0
x
-f(u)(-du)+C=∫
0
x
f(u)du+C=F(x),
可知F(x)为偶函数。
综上所述,选项A是正确的。
方法二:举反例排除。令f(x)=x
2
,F(x)=
x
3
+1,可知f(x)为偶函数时,F(x)不一定为奇函数;令f(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x,可知f(x)为周期函数时,F(x)不一定为周期函数;令f(x)=x,F(x)=1/2x
2
,可知f(x)为单调函数时,F(x)不一定为单调函数。由此只有选项A是正确的。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/u3k4777K
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考研数学二
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