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  3. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )

设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )

admin2018-04-14  41
问题 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有(    )
选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数。
答案A
解析 方法一：f(x)的原函数可以表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C。如果F(x)为偶函数，则F(－x)=F(x)，等式两边同时求导可得－f(－x)=f(x)，可知f(x)为奇函数。
如果f(x)为奇函数，F(－x)=∫0－xf(t)dt+C，对其作变量代换，令u=－t可得
F(－x)=∫0xf(－u)(－du)+C=∫0x－f(u)(－du)+C=∫0xf(u)du+C=F(x)，
可知F(x)为偶函数。
综上所述，选项A是正确的。
方法二：举反例排除。令f(x)=x2，F(x)=x3+1，可知f(x)为偶函数时，F(x)不一定为奇函数；令f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x，可知f(x)为周期函数时，F(x)不一定为周期函数；令f(x)=x，F(x)=1／2x2，可知f(x)为单调函数时，F(x)不一定为单调函数。由此只有选项A是正确的。
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考研数学二

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