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假设随机变量x与y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,P{Y=1}=,求: (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
假设随机变量x与y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,P{Y=1}=,求: (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
admin
2018-01-12
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问题
假设随机变量x与y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=
,P{Y=1}=
,求:
(Ⅰ)Z=XY的概率密度f
Z
(z);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(υ)。
选项
答案
(Ⅰ)根据题意P{Y=一1}=[*],P{Y=1}[*],X~N(0,1)且X与Y相互独立,所以Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{y=1}P{XY≤z|y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布,所以其概率密度为 f
Z
(z)=φ(z)=[*] (Ⅱ)由于V=|X一Y|只取非负值,因此当υ<0时,其分布函数F
V
(υ)=P{|X一Y|≤υ}=0;当υ≥0时, F
V
(υ)=P{一υ≤X—Y≤υ} =P{Y=一1}P{一υ≤X—Y≤υ|Y=一1}+P{Y=1}P{一υ≤X—Y≤υ|Y=1} [*] 综上计算可得, [*] 由于F
V
(υ)是连续函数,且除个别点外,导数都是存在的,所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学三
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