2. 考研
  3. 假设随机变量x与y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，P{Y=1}=，求： (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

假设随机变量x与y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，P{Y=1}=，求： (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

admin2018-01-12  55
问题 假设随机变量x与y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，P{Y=1}=，求：
(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
选项
答案(Ⅰ)根据题意P{Y=一1}=[*]，P{Y=1}[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{y=1}P{XY≤z|y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 fZ(z)=φ(z)=[*] (Ⅱ)由于V=|X一Y|只取非负值，因此当υ＜0时，其分布函数FV(υ)=P{|X一Y|≤υ}=0；当υ≥0时， FV(υ)=P{一υ≤X—Y≤υ} =P{Y=一1}P{一υ≤X—Y≤υ|Y=一1}+P{Y=1}P{一υ≤X—Y≤υ|Y=1} [*] 综上计算可得， [*] 由于FV(υ)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学三

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