求微分方程y“+4y‘+4y=eax的通解，其中a是常数．

admin2021-02-25 79

问题求微分方程y“+4y‘+4y=e^ax的通解，其中a是常数．

选项

答案齐次方程的特征方程为r²+4r+4=0，解得特征根为r₁=r₂=-2，故对应的齐次方程的通解为 r=(C₁+C₂x)e^-2x．当a=-2时，设非齐次方程的特解为y^*=Ax²e^-2x，代入原方程得A=1/2，从而[*] 当a≠-2时，应设非齐次方程的特解为y^*=Be^ax，代入原方程得[*] 综上，原方程的通解为 [*]

解析本题是求二阶常系数非齐次方程，右端项为指数函数的通解问题．关键是求原方程的一个特解，由于a是任意常数，因此这个特解要根据a取值的不同情况来确定．

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