设二次型 满足=2,AB=O,其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并求所作正交变换; (Ⅱ)求该二次型; (Ⅲ)f(x1,x2,x3)=1表示什么曲面?

admin2019-01-24  48

问题 设二次型

满足=2,AB=O,其中B=
(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并求所作正交变换;
(Ⅱ)求该二次型;
(Ⅲ)f(x1,x2,x3)=1表示什么曲面?

选项

答案(Ⅰ)由题设条件[*],可知B的3个列向量都是Ax=0的解向量,也是A的对应于λ=0的特征向量,其中[*]L79线性无关且正交,[*],故λ=0至少是二重特征值. 又因[*],另一个特征值是λ3=2,故λ1=λ2=0是二重特征值.因A是实对称矩阵,故 对应λ3=2的特征向量应与ξ1,ξ1正交,设ξ3=(x1,x2,x3)T,则有 [*] 故存在正交变换x=Qy,其中[*]. (Ⅱ)先求二次型对应矩阵,因QTAQ=Q-1AQ=[*],故 [*] 故所求二次型为[*]. (Ⅲ)法一 由标准形知f(x1,x2,x3)=2y32=1,[*],表示两个平行平面. 法二 由(Ⅱ)得二次型 [*]

解析
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