设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞),f(x+y)= f(x)ey+f(y)ex成立,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=________.

admin2019-03-13  24

问题 设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞),f(x+y)= f(x)ey+f(y)ex成立,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=________.

选项

答案axex

解析 由f’(0)存在,设法去证对一切x,f’(x)存在,并求出f(x).
    将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得
    f(x)=f(x)+f(0)ex
  所以f(0)=0.

令△x→0,得
    f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex,所以f’(x)存在.解此一阶微分方程,得
    f(x)=ex(∫aexdx+C)=ex(ax+C).因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)=axex,如上所填.
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