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已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为_______
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为_______
admin
2016-07-22
14
问题
已知4阶方阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
1
,α
2
线性无关,若β=α
1
+2α
2
-α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
,则Ax=β的通解为_______
选项
答案
[*]
解析
由β=α
1
+2α
2
-α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
可知β
1
=
均为Ax=0的解.
由于α
1
,α
2
线性无关,可知r(A)≥2.又由于Ax=0有两个线性无关的解β
1
-β
2
,β
2
-β
3
,可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量,也即4-r(A)≥2,即r(A)≤2.
综上,r(A)=2,Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量,故β
1
-β
2
,β
2
-β
3
即为Ax=0的基础解系.故Ax=β的通解为k
1
,k
1
,k
2
∈R
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考研数学一
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