设A，B是n阶矩阵． (Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB=A，必有B=E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB=A； (Ⅱ)设求所有的B，使得AB=A．

admin2016-04-14 73

问题设A，B是n阶矩阵．
(Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB=A，必有B=E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB=A；
(Ⅱ)设

求所有的B，使得AB=A．

选项

答案(Ⅰ)当A是可逆矩阵时，若AB=A，两边左乘A^－1，必有B=E；当A不可逆时，有B≠E，使得AB=A．因A不可逆时Ax=0有非零解，设Aξ_i=0(i=1，2，…，n)，合并得A(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)=0．令(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)=B—E即B=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)+E≠E，则A(B—E)=0，得AB=A，其中 B—E≠0，B≠E． [*]

解析

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