已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。

admin2015-11-16 22

问题已知n维向量α₁，α₂，…，α_s线性无关，如果n维向量β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，而γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，证明α₁，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_s－1＋α_s，β＋γ线性无关。

选项

答案证一利用拆项重组法及线性无关的定义证之。由题设γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，可设 γ＝c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_sα_s，又令 k₁α₁＋k₂(α₁＋α₂)＋…＋k_s(α_s＋α_s－1)＋k(β＋γ)＝0。将其拆项重组得到 (k₁＋k₂＋kc₁)α₁＋(k₂＋k₃＋kc₂)α₂＋…＋(k_s＋kc_s)α_s＋kβ＝0。因α₁，α₂，…，α_s线性无关，而β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，故α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，因而 k＝0， k₁＋k₂＋kc₁＝0， k₂＋k₃＋kc₂＝0， …， k_s＋kc_s＝0，即 k₁＋k₂＝0，k₂＋k₃＝0，…，k_s－1＋k_s＝0，k_s＝0，解得 k₁＝k₂＝…＝k_s－1＝k_s＝0，即α₁，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_s－1＋α_s，β＋γ线性无关。证二注意到α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，γ＝c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_sα_s，由 [*] 而α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，由矩阵表示法即知α₁，α₂，…，α_s，β＋γ线性无关。

解析

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考研数学一

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已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。

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