已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。

admin2015-11-16 35

问题已知n维向量α₁，α₂，…，α_s线性无关，如果n维向量β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，而γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，证明α₁，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_s－1＋α_s，β＋γ线性无关。

选项

答案证一利用拆项重组法及线性无关的定义证之。由题设γ可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，可设 γ＝c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_sα_s，又令 k₁α₁＋k₂(α₁＋α₂)＋…＋k_s(α_s＋α_s－1)＋k(β＋γ)＝0。将其拆项重组得到 (k₁＋k₂＋kc₁)α₁＋(k₂＋k₃＋kc₂)α₂＋…＋(k_s＋kc_s)α_s＋kβ＝0。因α₁，α₂，…，α_s线性无关，而β不能由α₁，α₂，…，α_s线性表出，故α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，因而 k＝0， k₁＋k₂＋kc₁＝0， k₂＋k₃＋kc₂＝0， …， k_s＋kc_s＝0，即 k₁＋k₂＝0，k₂＋k₃＝0，…，k_s－1＋k_s＝0，k_s＝0，解得 k₁＝k₂＝…＝k_s－1＝k_s＝0，即α₁，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_s－1＋α_s，β＋γ线性无关。证二注意到α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，γ＝c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_sα_s，由 [*] 而α₁，α₂，…，α_s，β线性无关，由矩阵表示法即知α₁，α₂，…，α_s，β＋γ线性无关。

解析

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考研数学一

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已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。

考研数学一

求下列不定积分:

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

证明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)设f(x)=不存在．

设向量组a1，a2，…，am线性相关，且a1≠0，证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1，a2，…，ak-1线性表示．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出f的矩阵A，求出A的特征值，并指出曲面f(x1，x2，x3)=1的名称．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则()．

四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1，α2，α3且r(A)=3，设α1+α2=，求方程组AX=b的通解．

设A,B为三阶矩阵，且AB=A－B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

设有三个线性无关的特征向量，则a=________.

A．感染灶质地坚韧，表面有多个黄色脓点B．有波动感和压痛C．红肿病灶与正常组织无明显界限D．全身不同部位有多个毛囊和皮脂腺的炎症符合脓肿特点的是

下列不属于慢性盆腔炎病理变化的有（）

公安机关消防机构实施竣工验收抽查发现有违反消防法规强制性要求时，应在()内通知建设单位改正。

下列不属于完税价格的是(　　)。

债券回购业务中资金与债券的清算()

诚信是一种软实力，更是一种竞争力。诚信问题的最终解决，根本上要靠()。

成本推动的通货膨胀

明清两代在广兴学校的同时，严订学规，以加强对学生的思想控制。雍正年间颁布的学规是()

已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。

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证明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)设f(x)=不存在．

设向量组a1，a2，…，am线性相关，且a1≠0，证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1，a2，…，ak-1线性表示．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出f的矩阵A，求出A的特征值，并指出曲面f(x1，x2，x3)=1的名称．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则()．

四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1，α2，α3且r(A)=3，设α1+α2=，求方程组AX=b的通解．

设A,B为三阶矩阵，且AB=A－B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

设有三个线性无关的特征向量，则a=________.

A．感染灶质地坚韧，表面有多个黄色脓点B．有波动感和压痛C．红肿病灶与正常组织无明显界限D．全身不同部位有多个毛囊和皮脂腺的炎症符合脓肿特点的是

下列不属于慢性盆腔炎病理变化的有（）

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