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  3. 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f’’(x)|≤M，证明：|f’(x)|≤M/2

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f’’(x)|≤M，证明：|f’(x)|≤M/2

admin2022-10-27  1
问题 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f’’(x)|≤M，证明：|f’(x)|≤M/2
选项
答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f’(x)(0-x)+[*](0-x)2，ξ∈(0，x)， f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[*](1-x)2，η∈(x，1)， 两式相减得 f’(x)=[*][f’’(ξ)x2-f’’(η)(1-x)2]， 取绝对值得 |f’(x)|≤[*][x2+(1-x)2]， 因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故|f’(x)|≤M/2．
解析
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考研数学一

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