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求幂级数的收敛域与和函数.
求幂级数的收敛域与和函数.
admin
2020-08-03
26
问题
求幂级数
的收敛域与和函数.
选项
答案
由ρ=[*]=1,得收敛半径R=1,收敛区间为(-1,1). 当x=±1时,|u
n
(n)|≤[*]收敛,故原级数绝对收敛,因而收敛域为[-l,1]. 设s(x)=[*],x∈[-1,1].显然x=0时,s(0)=0 当x∈(-1,1]且x≠0时 s(x)=[*] 而[*]=ln(1+x) 故s(x)=[*][(x+1)ln(1+x)-x]. 因s(x)在x=1处连续,故s(1)=ln2-[*];x=-1时,原级数为 [*] 因此 s(x)=[*]
解析
本题考查求幂级数的收敛域与和函数问题.这是一个标准形式的幂级数,可先求出收敛半径,定出收敛区间,再讨论端点处的收敛性可得收敛域,然后用间接法即逐项求导、积分等分析运算性质求解.
注:上述求解过程中用到了ln(1+x)=
,x∈(-1,1].若不清楚此式,则还要求导一次.所以请读者要熟记一些常用函数的幂级数展开式,如e
x
,sinx,cosx,(1+x)
m
,ln(1+x),ln(1-x),arctan x,等等.
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