2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵． 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵；

设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵． 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵；

admin2016-12-09  34
问题 设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵．
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵；
选项
答案由反对称矩阵定义知，AT=一A，故 ｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0，所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=一A，由(A*)T= (AT)*有 (A*)T=(AT)*=(一A)*． 又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(一A)*=(一1)n-1A*=(一1)2kA*=A*，即A*是对称矩阵．
解析
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考研数学二

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