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设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是( )
设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是( )
admin
2018-07-23
37
问题
设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是( )
选项
A、(E-A)(E+A)
2
=(E+A)
2
(E-A).
B、(E-A)(E+A)
T
=(E+A)
T
(E-A).
C、(E-A)(E+A)
-1
=(E+A)
-1
(E-A).
D、(E-A)(E+A)
*
=(E+A)
*
(E-A).
答案
B
解析
因EA=AE=A,AA
2
=A
2
A=A
3
,AA
-1
=A
-1
A=E,AA
*
=A
*
A=|A|E,故知A和E,A
2
,A
-1
,A
*
乘法运算均可交换.
但(E+A)(E+A)
T
≠(E+A)
T
(E+A).例
事实上,
(E-A)(E+A)
T
=[2E-(E+A)](E+A)
T
≠(E+A)
T
[2E-(E+A)]=(E+A)
T
(E-A).
故应选B.
对于A,C,D均成立.以C为例,有
(E-A)(E+A)
-1
=[2E-(E+A)](E+A)
-1
=2E(E+A)
-1
-(A+E)(A+E)
-1
=(E+A)
-1
2E-(A+E)
-1
(A+E)
=(A+E)
-1
[2E-(A+E)]
=(A+E)
-1
(E-A).
同理,请读者推A,D也成立.
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考研数学二
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