2. 考研
  3. 设E是n阶单位阵，E+A是n阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

设E是n阶单位阵，E+A是n阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

admin2018-07-23  45
问题 设E是n阶单位阵，E+A是n阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是(    )
选项 A、(E－A)(E+A)2=(E+A)2(E－A)．
B、(E－A)(E+A)T=(E+A)T(E－A)．
C、(E－A)(E+A)－1=(E+A)－1(E－A)．
D、(E－A)(E+A)*=(E+A)* (E－A)．
答案B
解析 因EA=AE=A，AA2=A2A=A3，AA－1=A－1A=E，AA*=A*A=|A|E，故知A和E，A2，A－1，A*乘法运算均可交换．
但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A)．例

事实上，
(E－A)(E+A)T=[2E－(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E－(E+A)]=(E+A)T(E－A)．
故应选B．
对于A，C，D均成立．以C为例，有
(E－A)(E+A)－1=[2E－(E+A)](E+A)－1
=2E(E+A)－1－(A+E)(A+E)－1
=(E+A)－12E－(A+E)－1(A+E)
=(A+E)－1[2E－(A+E)]
=(A+E)－1(E－A)．
同理，请读者推A，D也成立．
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考研数学二

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