设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是( )

admin2018-07-23  41

问题 设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是(    )

选项 A、(E-A)(E+A)2=(E+A)2(E-A).
B、(E-A)(E+A)T=(E+A)T(E-A).
C、(E-A)(E+A)-1=(E+A)-1(E-A).
D、(E-A)(E+A)*=(E+A)* (E-A).

答案B

解析 因EA=AE=A,AA2=A2A=A3,AA-1=A-1A=E,AA*=A*A=|A|E,故知A和E,A2,A-1,A*乘法运算均可交换.
但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A).例

事实上,
(E-A)(E+A)T=[2E-(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E-(E+A)]=(E+A)T(E-A).
故应选B.
对于A,C,D均成立.以C为例,有
(E-A)(E+A)-1=[2E-(E+A)](E+A)-1
=2E(E+A)-1-(A+E)(A+E)-1
=(E+A)-12E-(A+E)-1(A+E)
=(A+E)-1[2E-(A+E)]
=(A+E)-1(E-A).
同理,请读者推A,D也成立.
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