设f(x)在(—∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f′(0)=a(a≠0)，试证明对任意x，f′(x)都存在，并求f(x)。

admin2018-12-29 54

问题设f(x)在(—∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，又设f′(0)=a(a≠0)，试证明对任意x，f′(x)都存在，并求f(x)。

选项

答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，得f(0)=0。由导数定义得 [*] =f(x)+f′(0)e^x=f(x)+ae^x，所以对任意x，f′(x)都存在，且f′(x)=f(x)+ae^x。解此一阶线性方程，得 f(x)=e^∫dx(∫ae^xe^—∫dxdx+C)=e^x(ax+C)，再由f(0)=0，得C=0，即f(x)=axe^x。

解析

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考研数学一

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求
设φ(x)=sinx2∫01f(tsinx2)dt，且存在，证明：当x→0时，dφ是xsinx2dx的同阶无穷小量．
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