设f(x)在(—∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f′(0)=a(a≠0),试证明对任意x,f′(x)都存在,并求f(x)。

admin2018-12-29  26

问题 设f(x)在(—∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f′(0)=a(a≠0),试证明对任意x,f′(x)都存在,并求f(x)。

选项

答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得f(0)=0。由导数定义得 [*] =f(x)+f′(0)ex=f(x)+aex, 所以对任意x,f′(x)都存在,且f′(x)=f(x)+aex。 解此一阶线性方程,得 f(x)=e∫dx(∫aexe—∫dxdx+C)=ex(ax+C), 再由f(0)=0,得C=0,即f(x)=axex

解析
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