设3阶矩阵A有特征值λ1=-1，λ2=λ3=1，且A不能相似于对角矩阵，则R(E+A)+R(E-A)=( )

admin2019-02-23 83

问题设3阶矩阵A有特征值λ₁=-1，λ₂=λ₃=1，且A不能相似于对角矩阵，则R(E+A)+R(E-A)=( )

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．

答案D

解析由题设知，3阶矩阵A有特征值λ₁=-1，λ₂=λ₃=1，其中λ₁=-1是单根．所以λ₁=-1对应的线性无关的特征向量有且只有一个，即3-R(-E-A)=1，从而R(E+A)=2．
又λ₂=λ₃=1是二重根，其对应的线性无关的特征向量的个数小于等于2，但A不能相似于对角矩阵，故λ₂=λ₃=1对应的线性无关的特征向量有且只有一个，即3-R(E-A)=1，从而R(E-A)=2．
所以R(E+A)+R(E-A)=4．

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