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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。 求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。 求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。
admin
2019-03-23
10
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
。
求可逆矩阵P使得P
—1
AP为对角矩阵。
选项
答案
已得知B的特征值分别是1,1,4,于是解(E—B)x=0,得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β
1
=(—1,1,0)
T
,β
2
=(—2,0,1)
T
;解(4E—B)x=0,得矩阵B属于特征值4的特征向量β
2
=(0,1,1)
T
。 令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
),则有P
2
—1
BP
2
=[*],将P
1
—1
AP
1
=B代入可得 P
2
—1
P
1
—1
AP
1
P
2
=[*] 令P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(—α
1
+α
2
,—2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
), 则 P
—1
AP=[*]
解析
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考研数学二
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