2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。

admin2019-03-23  15
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。
求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。
选项
答案已得知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E—B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β1=(—1，1，0)T，β2=(—2，0，1)T；解(4E—B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。 令P2=(β1，β2，β3)，则有P2—1BP2=[*]，将P1—1AP1=B代入可得 P2—1P1—1AP1P2=[*] 令P=P1P2=(α1，α2，α3)[*]=(—α1+α2，—2α1+α3，α2+α3)， 则 P—1AP=[*]
解析
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考研数学二

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